Side 42
42 UCN PERSPEKTIV #03 BRØKERNE ER USYNLIGE UDENFOR Tekst Nanna Skovsgaard, adjunkt, læreruddannelsen, UCN Steffen Elmose, lektor, læreruddannelsen, UCN Indledning ”ENGANG VAR JEG MISUNDELIG PÅ EXPERIMENTARIUM I KØBENHAVN, MEN DET ER JEG IKKE MERE NU. VI HAR VORES EGET KÆMPE STORE EKSPERIMENTARIUM. DET ER BARE SPØRGSMÅLET OM AT FINDE DET OG GRIBE DET.” Således siger en lærer fra en nordjysk skole, som Nanna (hovedforfatter) var på besøg ved, og fik lov til at følge en 4. klasse og en 5. klasse i matematikundervisningen. I artiklen gives der eksempler fra Nannas egne erfaringer fra forskningsprojektet udeskole. Jeg (Nanna) vil hovedsageligt fokusere på 5. klassen, som i perioden arbejdede med brøker som omdrejningspunkt. Klassen havde arbejdet med brøker på forskellige måder, og lærerens mål var, at de fik oplevet brøkerne på så mange forskellige måder som muligt og derved fik en bedre forståelse for brøkbegrebet. ”Mange forskellige tilgange til det. Det mener jeg bestemt, er vejen frem for dem” nævnte læreren i flere omgange, som et meget centralt fokuspunkt. I denne artikel vil jeg derfor behandle de forskellige steder, som eleverne besøgte i forbindelse med forløbet om brøker, og i den forbindelse vil jeg komme med ideer til, hvordan læreren i sin forberedelse og planlægning af et undervisningsforløb i matematik kan medtænke nogle didaktiske modeller, der kan fremme elevernes forståelse af brøkbegrebet. Brøker i 5.a – Hvad skal eleverne lære? Ligegyldigt om udeskole er et element tilknyttet undervisningen, er det altid centralt at overveje, hvad eleverne skal lære i undervisningen om brøker. Først undersøges – ”hvad skal eleverne lære?” – inden der planlægges –”hvad skal de lave?”. Læreren, som jeg besøgte, havde som mål, at eleverne skulle lære, forstå og opleve brøker på forskellige måder og i forskellige sammenhænge og dermed udvide deres forståelse af, hvordan brøker bliver brugt i hverdagen. Målet kan knyttes an til FFM-målet for tal og algebra (6. klassetrin): ”Eleven kan anvende decimaltal og brøker i hverdagssituationer.” Desuden kan inddrages FFM-målet vedrørende regnestrategier: ”Eleven kan udvikle metoder til beregninger med decimaltal, enkle brøker og negative hele tal.” Isbjergsmodellen Når der tales om at udvide elevernes forståelse af et begreb, kan det være centralt at bringe isbjergsmodellen (Webb et al., 2008) ind i sammenhængen. Denne model, der er udviklet af Freudental Instituttet i Holland, kan anvendes som et værktøj for læreren, når et forløb skal planlægges. Den kan støtte læreren i at rette opmærksomheden mod elevernes læreprocesser og strategier. Figur 1 viser et eksempel på, hvor meget ’forståelse’ der egentlig ligger gemt bag en formel repræsentation som ¾. Figuren er opbygget af formelle, FIGUR 1 Isbjergsmodellen (Webb, 2008)
Side 43
UCN PERSPEKTIV #03 43 før-formelle og uformelle repræsentationer. I eksemplet med brøker er ¾ den formelle repræsentation (toppen af isbjerget), og for at forstå, hvad ¾ i virkeligheden er, ligger der før-formelle og uformelle repræsentationer bag, det vil sige, det som ligger under ’vandoverfladen’. Eksempler på før-formelle repræsentationer kan være tallinjen, skravering af figurer og ¼ + ¼ + ¼. Eksempler på uformelle repræsentationer kan være deling af æbler eller brøker, som bruges direkte i virkeligheden, fx ¼ liter mælk. Ideen bag isbjergsmodellen er, at elever, der kun arbejder med formaliserede algoritmer, typisk glemmer fremgangsmåder og procedurer. Isbjergsmodellen er med andre ord en metafor, der viser, hvordan elevers brede erfaringer og mange forskellige repræsentationer kan understøtte elevernes læring, så den formaliserede del bliver meningsfuld. Som led i planlægningen af undervisning kan det være en ide at overveje hvilke uformelle og før-formelle repræsentationer som ligger bag det formelle begreb. Modellen kan anvendes i et lærerteam til at udforske et områdes underemner og derudover finde et bredt og varieret udbud af uformelle, før-formelle og formelle repræsentationer. Som oftest er de før-formelle og uformelle repræsentationer kontekstbundne, og derfor giver udeskole og det, at eleverne arbejder med noget konkret fra hverdagen, rigtig god mening. Floating capacity er et begreb fra modellen, der betyder, at jo større isbjerget er under vandet, jo sikrere grundlag har eleven. Dette hænger utrolig godt sammen med lærerens mål med det undervisningsforløb, som jeg fulgte. Her var målet også, at eleverne skulle få oplevet brøkbegrebet på mange forskellige måder og derved få dannet mange forskellige repræsentationer for brøkbegrebet. At brøkerne optræder i mange sammenhænge i vores hverdag, er ikke umiddelbart synligt for eleverne. For eksempel tænker man ikke umiddelbart på brøker, når man deler et æble eller en kage. Det er således centralt for læreren at overveje, hvordan matematikken i vores omgivelser kan blive mere synlig i undervisningen. Brøker ved den lokale grønthandler 5. klassen besøgte den lokale grønthandler i forbindelse med forløbet. Et af målene var her, at eleverne skulle besøge et autentisk sted med rigtige bananer og appelsiner og opstille deres egne brøker ud fra det, som de så. Her gik deres undersøgelser fx ud på, at hvis der både lå appelsiner og bananer i en kasse, så fandt de ud af, hvor mange stykker frugt, der var i kassen, og så hvor stor en andel, der var bananer, og hvor stor en andel, der var appelsiner. Her var det tydeligt at mærke på læreren, at hun var meget overrasket over sine elever. ”Det er helt utroligt, hvad de fik ud af det, og hvad de kom med af resultater – det var alle steder, hvor de kunne opstille brøker. Jeg havde måske selv fundet tre steder. Jeg havde slet ikke den samme fantasi.” Jeg fulgte to elever, som efter turen fortalte om de billeder, som de havde taget i forbindelse med deres undersøgelse. De benyttede vendinger som ”hvor mange. ud af”, fx hvor mange æbler var grønne ud af alle æblerne. Det var den samme vending, som eleverne benyttede i alle deres fortællinger omkring de billeder, som de havde taget. I den forbindelse var det tydeligt, at de har opnået en forståelse af, at brøker fx er en mindre del ud af det hele. Men det blev dog ikke italesat af eleverne selv, at brøker handlede om, hvor stor en del der var grønne æbler. De to elever her var meget fokuseret på at tælle rigtigt, hvad angår antallet af æbler. Øverste billede viser et eksempel på, at eleverne også undersøgte flødeboller og i den forbindelse, hvor mange som var med kokos, og hvor mange der var i alt. Brøker i skolegården – skud på mål Eleverne arbejdede også med brøker i skolegården. Her indgik der også bevægelse. De blev opdelt i grupper af ca. fire-fem elever og roterede ved seks forskellige poster, hvor det handlede om at score på forskellige mål. En post handlede fx om skud på mål i form af straffespark. Eleverne fik hver ti skud på mål med en fodbold, og bagefter skulle de beregne, hvor stor en andel der gik i mål. Ved andre poster skulle eleverne fx score på en basketkurv eller kaste ærteposer ind i en hulahopring. I slutningen af lektionerne tog eleverne Foto: Nanna Skovsgaard Foto: Nanna Skovsgaard Billedet herunder viser det udleverede ark, som eleverne skulle udfylde. Eleven her har noteret korrekt antal scoringer, men mangler det næste skridt – at anvende brøken som repræsentation for antal scoringer ud af antal mulige. Foto: Nanna Skovsgaard deres data med ind i klassen og regnede videre. Disse aktiviteter i skolegården i forhold til ’scoringer’ havde som fokus, at eleverne skulle lære forståelse af brøkbegrebet og forståelse af tiendedele. De skulle med andre ord også få en kropslig forståelse af, hvad det vil sige at score fx 3 ud af 10 gange eller 10 ud af 10 gange. Denne tilgang flugter med Arne Jordets argument for at gøre elevernes personlige matematik til skolematematik, ved at læreren tager udgangspunkt i, hvad eleverne gør og siger, og derefter omsætter det kendte til matematiske repræsentationer (Jordet, 2003). Læreren siger i den forbindelse: "Jeg tænker meget på, hvordan jeg skal gøre det og få det belyst på forskellige måder. Nogle kan se det med deres øjne, nogle kan høre det med deres ører, og det er lige før, jeg kan få dem til at mærke en brøk. Jeg valgte i dag en fællesnævner på ti. Næste gang skal de begynde at lægge brøkerne sammen, og det er der, de bliver udfordret, for hvordan gør vi så det? Og så kan vi jo
